DSS - গণিত পরীক্ষা - ৪-টপিক:১. বীজগাণিতিক সূত্রাবলি, ২. উৎপাদকে বিশ্লেষণ
(2a - 3)
(a + 4)
(2a + 1)
(a - 1)
(2a + 1)
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: (8a2 - 6a - 5) এর একটি উৎপাদক (4a - 5) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?
সমাধান:
8a2 - 6a - 5
= 8a2 + 4a - 10a - 5
= 4a(2a + 1) - 5(2a + 1)
= (4a - 5)(2a + 1)
সমাধান:
8a2 - 6a - 5
= 8a2 + 4a - 10a - 5
= 4a(2a + 1) - 5(2a + 1)
= (4a - 5)(2a + 1)
38
45
49
55
49
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: a2 + b2 = 25 এবং ab = 12 হলে, (a + b)2 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 25
এবং ab = 12
আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
⇒ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
⇒ (a + b)2 = 25 + (2 × 12)
⇒ (a + b)2 = 25 + 24
∴ (a + b)2 = 49
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 25
এবং ab = 12
আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
⇒ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
⇒ (a + b)2 = 25 + (2 × 12)
⇒ (a + b)2 = 25 + 24
∴ (a + b)2 = 49
(p - 2)
(2p + 3)
(p + 8)
(p - 6)
(p + 8)
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: 2p2 + 6p - 80 এর একটি উৎপাদক-
সমাধান:
2p2 + 6p - 80
= 2(p2 + 3p - 40)
= 2(p2 + 8p - 5p - 40)
= 2{p(p + 8) - 5(p + 8)}
= 2(p + 8)(p - 5)
সমাধান:
2p2 + 6p - 80
= 2(p2 + 3p - 40)
= 2(p2 + 8p - 5p - 40)
= 2{p(p + 8) - 5(p + 8)}
= 2(p + 8)(p - 5)
50
52
58
64
52
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে, a3 + (1/a3) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4
প্রদত্ত রাশি = a3 + (1/a3)
= {a + (1/a)}3 - 3 · a · (1/a){a + (1/a)}
= 43 - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4
প্রদত্ত রাশি = a3 + (1/a3)
= {a + (1/a)}3 - 3 · a · (1/a){a + (1/a)}
= 43 - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52
(2a - 3)(a - 1)
(a - 4) (a - 2)
(3a + 1)(a + 3)
(2a - 1)(a + 1)
(2a - 3)(a - 1)
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: (2a2 - 5a + 3) এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?
সমাধান:
2a2 - 5a + 3
= 2a2 - 3a - 2a + 3
= a(2a - 3) - 1(2a - 3)
= (2a - 3)(a - 1)
সমাধান:
2a2 - 5a + 3
= 2a2 - 3a - 2a + 3
= a(2a - 3) - 1(2a - 3)
= (2a - 3)(a - 1)
3
5
7
9
5
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: যদি a + a- 1 = √7 হয়, তাহলে a2 + a- 2 এর মান কত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + a- 1 = √7
⇒ a + (1/a) = √7
প্রদত্ত রাশি = a2 + a- 2
= a2 + (1/a2)
= {a + (1/a)}2 - 2 · a · (1/a)
= (√7)2 - 2
= (7 - 2)
= 5
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + a- 1 = √7
⇒ a + (1/a) = √7
প্রদত্ত রাশি = a2 + a- 2
= a2 + (1/a2)
= {a + (1/a)}2 - 2 · a · (1/a)
= (√7)2 - 2
= (7 - 2)
= 5
(a - 1)
(2a + 1)
(a - 2)
(a - 4)
(a - 1)
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: (7a2 - 27a + 20) এবং (a2 + 2a - 3) এর একটি সাধারণ উৎপাদক কোনটি?
সমাধান:
১ম ক্ষেত্রে,
7a2 - 27a + 20
= 7a2 - 20a - 7a + 20
= a(7a - 20) - 1(7a - 20)
= (7a - 20)(a - 1)
২য় ক্ষেত্রে,
a2 + 2a - 3
= a2 + 3a - a - 3
= a(a + 3) - 1(a + 3)
= (a + 3)(a - 1)
সমাধান:
১ম ক্ষেত্রে,
7a2 - 27a + 20
= 7a2 - 20a - 7a + 20
= a(7a - 20) - 1(7a - 20)
= (7a - 20)(a - 1)
২য় ক্ষেত্রে,
a2 + 2a - 3
= a2 + 3a - a - 3
= a(a + 3) - 1(a + 3)
= (a + 3)(a - 1)
4
8
9
11
11
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: (a + b + c) = 6 এবং (a2 + b2 + c2) = 14 হলে, (ab + bc + ca) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6
এবং a2 + b2 + c2 = 14
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 62 - 14
⇒ 2(ab + bc + ca) = (36 - 14)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 22
⇒ (ab + bc + ca) = 22/2
∴ (ab + bc + ca) = 11
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6
এবং a2 + b2 + c2 = 14
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 62 - 14
⇒ 2(ab + bc + ca) = (36 - 14)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 22
⇒ (ab + bc + ca) = 22/2
∴ (ab + bc + ca) = 11
(3a - 1)
(a - 2)
(a - 1)
(a - 3)
(a - 3)
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a3 - a - 24) এর একটি উৎপাদক?
সমাধান:
ধরি, f(a) = a3 - a - 24
f(3) = 33 - 3 - 24
= 27 - 27
= 0
∴ (a - 3), f(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন,
a3 - a - 24
= a3 - 3a2 + 3a2 - 9a + 8a - 24
= a2(a - 3) + 3a(a - 3) + 8(a - 3)
= (a - 3)(a2 + 3a + 8)
সমাধান:
ধরি, f(a) = a3 - a - 24
f(3) = 33 - 3 - 24
= 27 - 27
= 0
∴ (a - 3), f(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন,
a3 - a - 24
= a3 - 3a2 + 3a2 - 9a + 8a - 24
= a2(a - 3) + 3a(a - 3) + 8(a - 3)
= (a - 3)(a2 + 3a + 8)
115
119
123
126
119
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: a - (1/a) = 3 হলে, a4 + (1/a4) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 3
∴ প্রদত্ত রাশি = a4 + (1/a4)
= {a2 + (1/a2)}2 - 2 · a2 · (1/a2)
= [{a - (1/a)}2 + 2 · a · (1/a)]2 - 2
= {(3)2 + 2}2 - 2
= (9 + 2)2 - 2
= (11)2 - 2
= (121 - 2)
= 119
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 3
∴ প্রদত্ত রাশি = a4 + (1/a4)
= {a2 + (1/a2)}2 - 2 · a2 · (1/a2)
= [{a - (1/a)}2 + 2 · a · (1/a)]2 - 2
= {(3)2 + 2}2 - 2
= (9 + 2)2 - 2
= (11)2 - 2
= (121 - 2)
= 119
(a - 1)
(a - 2)
(a - 3)
(a - 4)
(a - 1)
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a3 - 9a2 + 26a - 24) এর একটি উৎপাদক নয়?
সমাধান:
a3 - 9a2 + 26a - 24
= a3 - 3 · a2 · 3 + 3 · a · 32 - 33 - a + 3
= (a - 3)3 - 1(a - 3)
= (a - 3){(a - 3)2 - 1}
= (a - 3)(a - 3 + 1)(a - 3 - 1)
= (a - 3)(a - 2)(a - 4)
= (a - 2)(a - 3)(a - 4)
সমাধান:
a3 - 9a2 + 26a - 24
= a3 - 3 · a2 · 3 + 3 · a · 32 - 33 - a + 3
= (a - 3)3 - 1(a - 3)
= (a - 3){(a - 3)2 - 1}
= (a - 3)(a - 3 + 1)(a - 3 - 1)
= (a - 3)(a - 2)(a - 4)
= (a - 2)(a - 3)(a - 4)
18
20
22
24
24
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: (a + b) = 7 এবং (a - b) = 5 হলে 4ab এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
এবং a - b = 5
আমরা জানি,
4ab = (a + b)2 - (a - b)2
⇒ 4ab = (7)2 - (5)2
⇒ 4ab = 49 - 25
⇒ 4ab = 24
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
এবং a - b = 5
আমরা জানি,
4ab = (a + b)2 - (a - b)2
⇒ 4ab = (7)2 - (5)2
⇒ 4ab = 49 - 25
⇒ 4ab = 24
9/7
9/8
9/5
9/2
9/8
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: p - (9/p) = 1 হলে, 9/(p2 - p - 1) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - (9/p) = 1
⇒ (p2 - 9)/p = 1
⇒ (p2 - 9) = p
⇒ p2 - p = 9
এখন,
9/(p2 - p - 1)
= 9/(9 - 1)
= 9/8
সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - (9/p) = 1
⇒ (p2 - 9)/p = 1
⇒ (p2 - 9) = p
⇒ p2 - p = 9
এখন,
9/(p2 - p - 1)
= 9/(9 - 1)
= 9/8
32
35
38
40
35
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: a + b = 5 এবং a2 + b2 = 13 হলে, a3 + b3 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 5
এবং a2 + b2 = 13
⇒ (a + b)2 - 2ab = 13
⇒ - 2ab = 13 - (a + b)2
⇒ - 2ab = 13 - (5)2
⇒ - 2ab = 13 - 25
⇒ - 2ab = - 12
∴ ab = 6
প্রদত্ত রাশি = a3 + b3
= (a + b)3 - 3ab(a + b)
= 53 - 3 · 6 · 5
= 125 - 90
= 35
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 5
এবং a2 + b2 = 13
⇒ (a + b)2 - 2ab = 13
⇒ - 2ab = 13 - (a + b)2
⇒ - 2ab = 13 - (5)2
⇒ - 2ab = 13 - 25
⇒ - 2ab = - 12
∴ ab = 6
প্রদত্ত রাশি = a3 + b3
= (a + b)3 - 3ab(a + b)
= 53 - 3 · 6 · 5
= 125 - 90
= 35
1
2
3
4
2
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: a2 + (1/a2) এর কোন মানের জন্য a3 - (1/a3) = 0 হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a3 - (1/a3) = 0
⇒ (a6 - 1)/a3 = 0
⇒ a6 - 1 = 0
⇒ a6 = 1
⇒ a6 = 16
∴ a = 1
প্রদত্ত রাশি = a2 + (1/a2)
= 12 + (1/16)
= (1 + 1)
= 2
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a3 - (1/a3) = 0
⇒ (a6 - 1)/a3 = 0
⇒ a6 - 1 = 0
⇒ a6 = 1
⇒ a6 = 16
∴ a = 1
প্রদত্ত রাশি = a2 + (1/a2)
= 12 + (1/16)
= (1 + 1)
= 2
30
34
38
42
38
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: a - (1/a) = 6 হলে, (a4 + 1)/a2 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 6
প্রদত্ত রাশি = (a4 + 1)/a2
= {(a4)/(a2)} + (1/a2)
= a2 + (1/a2)
= {a - (1/a)}2 + 2 . a . (1/a)
= (6)2 + 2
= 36 + 2
= 38
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 6
প্রদত্ত রাশি = (a4 + 1)/a2
= {(a4)/(a2)} + (1/a2)
= a2 + (1/a2)
= {a - (1/a)}2 + 2 . a . (1/a)
= (6)2 + 2
= 36 + 2
= 38
0
1
2
3
0
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c2 = 12 হলে, (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6
a2 + b2 + c2 = 12
প্রদত্ত রাশি = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2
= a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2
= 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2(ab + bc + ca)
= 2(a2 + b2 + c2) - {(a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)}
= (2 × 12) - {(6)2 - 12}
= (2 × 12) - (36 - 12)
= 24 - 24
= 0
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6
a2 + b2 + c2 = 12
প্রদত্ত রাশি = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2
= a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2
= 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2(ab + bc + ca)
= 2(a2 + b2 + c2) - {(a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)}
= (2 × 12) - {(6)2 - 12}
= (2 × 12) - (36 - 12)
= 24 - 24
= 0
182
188
190
196
196
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: a + b = 10 এবং ab = 16 হলে, a2 + b2 + 8ab = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 10
এবং ab = 16
প্রদত্ত রাশি = a2 + b2 + 8ab
= (a + b)2 - 2ab + 8ab
= (a + b)2 + 6ab
= 102 + (6 × 16)
= 100 + 96
= 196
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 10
এবং ab = 16
প্রদত্ত রাশি = a2 + b2 + 8ab
= (a + b)2 - 2ab + 8ab
= (a + b)2 + 6ab
= 102 + (6 × 16)
= 100 + 96
= 196
(q - 8)(q - 6)
(q - 8)(q + 6)
(q + 8)(q + 6)
(q + 8)(q - 6)
(q - 8)(q - 6)
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: q2 - 14q + 48 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে-
সমাধান:
q2 - 14q+ 48
= q2 - 8q - 6q + 48
= q(q - 8) - 6(q - 8)
= (q - 8)(q - 6)
সমাধান:
q2 - 14q+ 48
= q2 - 8q - 6q + 48
= q(q - 8) - 6(q - 8)
= (q - 8)(q - 6)
18
20
23
25
23
ব্যাখ্যা:
প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 5 হলে, {(a2)/(b2)} + {(b2)/(a2)} এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 5
প্রদত্ত রাশি = {(a2)/(b2)} + {(b2)/(a2)}
= (a/b)2 + (b/a)2
= {(a/b) + (b/a)}2 - 2 · (a/b) · (b/a)
= 52 - 2
= 25 - 2
= 23
সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 5
প্রদত্ত রাশি = {(a2)/(b2)} + {(b2)/(a2)}
= (a/b)2 + (b/a)2
= {(a/b) + (b/a)}2 - 2 · (a/b) · (b/a)
= 52 - 2
= 25 - 2
= 23