সমাজসেবা - ম্যাথ - গণিত পরীক্ষা - টপিকঃ বাস্তব সংখ্যা, গড়, ল.সা.গু, গ.সা.গু, বয়স সংক্রান্ত সমস্যা।

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় তাই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, সে সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেখানে p এবং q উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং q শূন্য নয় এমন সংখ্যা।

এখানে,
√৫/২ ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√৫ পূর্ণ সংখ্যা নয়]
√৩ ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√৩ পূর্ণ সংখ্যা নয়]
√৫/৬ ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√৫ পূর্ণ সংখ্যা নয়]

√১৬/৫ = ৪/৫ ; একটি মূলদ সংখ্যা। [সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, এবং ৪ ও ৫ উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা]

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৯ ও ১৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
তিনটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৯ ও ১৫ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল।
৩, ৯ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ৪৫

∴ ৪৫ সেকেন্ড পর তিনটি ঘন্টা একত্রে বাজবে।

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: মিতুর বয়স টিটুর বয়সের ৪ গুণ। টিটুর বর্তমান বয়স ৪ বছর। যখন মিতুর বয়স টিটুর বয়সের দ্বিগুণ হবে তখন মিতুর বয়স কত হবে?

সমাধান:
টিটুর বর্তমান বয়স ৪ বছর হলে মিতুর বর্তমান বয়স = ৪ × ৪ = ১৬ বছর।
ধরি, ক বছর পরে মিতুর বয়স টিটুর বয়সের দ্বিগুণ হবে।

প্রশ্নমতে,
২ × (৪ + ক) = ১৬ + ক
⇒ ৮ + ২ক = ১৬ + ক
⇒ ২ক - ক = ১৬ - ৮
∴ ক = ৮

সুতরাং, যখন মিতুর বয়স টিটুর বয়সের দ্বিগুণ হবে, তখন মিতুর বয়স হবে ১৬ + ৮ = ২৪ বছর

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: যদি ২০ জন ছাত্র গণিতে গড়ে ৬৫ নম্বর পায় এবং ৩০ জন ছাত্র গড়ে ৭৫ নম্বর পায়, তাহলে ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর = {(২০ × ৬৫) + (৩০ × ৭৫)}/৫০
= (১৩০০ + ২২৫০)/৫০
= ৩৫৫০/৫০
= ৭১

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩১৩ থেকে যত বড় ৫৭১ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৩১৩ = ৫৭১ - ক
⇒ ক + ক = ৫৭১ + ৩১৩
⇒ ২ক = ৮৮৪
⇒ ক = ৮৮৪/২
∴ ক = ৪৪২

অতএব, সংখ্যাটি হলো ৪৪২।

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে ২ ও ২৩৪। একটি সংখ্যা ১৮ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর সংখ্যাটি = ক

আমরা জানি,
গ.সা.গু × ল.সা.গু = একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা
⇒ ২ × ২৩৪ = ১৮ × অপর সংখ্যা
∴ অপর সংখ্যা = (২ × ২৩৪)/১৮
= ২৬

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। দুই পুত্রের বয়সের গড় ১৫ বছর। পিতার বয়স কত?

সমাধান:
দুই পুত্রের বয়সের গড় ১৫ বছর
দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = ২ × ১৫ = ৩০ বছর

পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর
পিতা ও দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = ৩ × ৩০ = ৯০ বছর
পিতার বয়স = ৯০ - ৩০ = ৬০ বছর

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: ১ থেকে ২৫ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
গড় = (১ম সংখ্যা + শেষ সংখা)/২
= (১ + ২৫)/২
= ১৩

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ৭০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

সমাধান :
মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত অন্য সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

৪০ থেকে ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৪১, ৪৩ ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭

অর্থাৎ, ৪০ থেকে ৭০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হবে ৭টি।

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: ৩/৫, ৮/১৫ এবং ৪/৫ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু

৩, ৮, ৪ এর গ.সা.গু = ১
৫, ১৫, ৫ এর ল.সা.গু = ১৫

∴ ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু = ১/১৫

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিনগুণ। ৫ বছর আগে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের চারগুণ ছিল। পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বয়স = ক বছর
পিতার বয়স = ৩ক বছর

৫ বছর আগে পুত্রের বয়স ছিল = ক - ৫ বছর
৫ বছর আগে পিতার বয়স ছিল = ৩ক - ৫ বছর

প্রশ্নমতে,
৩ক - ৫ = ৪(ক - ৫)
⇒ ৩ক - ৫ = ৪ক - ২০
⇒ ৪ক - ৩ক = ২০ - ৫
∴ ক = ১৫
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স ১৫ বছর।

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: ০, ৫ ও ৭ এর গড় কত?

সমাধান:
০, ৫ ও ৭ এর গড় = (০ + ৫ + ৭)/৩
= ১২/৩
= ৪

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: একটি স্বেচ্ছাসেবী দলে যদি নতুন ১৩ জন সদস্য যোগ দেয়, তবে তাদেরকে ২০, ৪০ ও ৭০ সারিতে দাঁড় করানো যাবে। ঐ স্বেচ্ছাসেবী দলের সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
স্বেচ্ছাসেবী দলের সদস্য সংখ্যা = (২০, ৪০ ও ৭০ এর ল.সা.গু) - ১৩
২০, ৪০ ও ৭০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ২৮০

∴ স্বেচ্ছাসেবী দলের সদস্য সংখ্যা = ২৮০ - ১৩
= ২৬৭ জন

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০

পার্থক্য = ৯৯৯ - ১০০
= ৮৯৯

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: ৭টি সংখ্যার গড় ১২। এর মধ্যে প্রথম ৩টি সংখ্যার গড় ৮ হলে শেষ ৪টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৭টি সংখ্যার গড় ১২
৭টি সংখ্যার সমষ্টি (১২ × ৭) = ৮৪

প্রথম ৩টি সংখ্যার গড় = ৮
প্রথম ৩টি সংখ্যার সমষ্টি = ৮ × ৩ = ২৪

শেষ ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = ৮৪ - ২৪ = ৬০
∴ শেষ ৪টি সংখ্যার গড় = ৬০/৪ = ১৫

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: নকিবের বয়স শিপ্রার বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা ৪ বছর কম। নকিবের বয়স ৪৪ বছর হলে শিপ্রার বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
শিপ্রার বয়স = ক বছর
∴ নকিবের বয়স = (২ক - ৪) বছর

শর্তমতে,
২ক - ৪ = ৪৪
⇒ ২ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮/২
∴ ক = ২৪

∴ শিপ্রার বয়স ২৪ বছর।

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৫। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৪৫
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪৫
⇒ ২ক = ৪৫ - ১
⇒ ২ক = ৪৪
⇒ ক = ৪৪/২
∴ ক = ২২
অতএব, বড় সংখ্যাটি = ২২ + ১ = ২৩

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: কতজন বালককে ১৩৫ টি আপেল ও ১৬৫ টি কমলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে,
১৩৫ ও ১৬৫ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় বালকের সংখ্যা।
১৩৫ ও ১৬৫ এর গ.সা.গু = ১৫

∴ ১৫ জন বালককে ১৩৫ টি আপেল ও ১৬৫ টি কমলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ৭ ইনিংসে রানের গড় ৪৮। ৮ম ইনিংসে কত রান করে আউট হলে সব ইনিংসে মিলিয়ে তার রানের গড় ৫০ হবে?

সমাধান:
৭ ইনিংসের মোট রান = ৭ × ৪৮ = ৩৩৬ রান
আবার, ৮ ইনিংসের মোট রান = ৮ × ৫০ = ৪০০ রান

∴ ৮ম ইনিংসের রান = ৪০০ - ৩৩৬ = ৬৪ রান

ব্যাখ্যা:

প্রশ্ন: ৫ জন পুরুষ, ৭ জন স্ত্রীলোক ও ১ জন বালিকার বয়সের গড় ৩৪ বছর। পুরুষের বয়সের গড় ৪০ বছর এবং স্ত্রীলোকের বয়সের গড় ৩৩ বছর। বালিকার বয়স কত?

সমাধান:
৫ জন পুরুষ, ৭ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালিকা অর্থাৎ, ১৫ জনের মোট বয়স = (৩৪ × ১৩) বছর
= ৪৪২ বছর

পুরুষদের মোট বয়স = ৪০ × ৫ = ২০০ বছর
এবং স্ত্রীলোকদের মোট বয়স = ৩৩ × ৭ = ২৩১ বছর

∴ স্ত্রীলোক ও পুরুষদের মোট বয়সের সমষ্টি = ২০০ + ২৩১ = ৪৩১ বছর

∴ বালিকার বয়স = (১৩ জনের বয়সের সমষ্টি - ৭ জন স্ত্রীলোক ও ৫ জন পুরুষের বয়সের সমষ্টি)
= ৪৪২ - ৪৩১ বছর
= ১১ বছর